Holisztika

A teremtés melódiája

Miért találunk a természetben ilyen sokféle anyagot, halmazállapotot, az anyagnak szinte áttekinthetetlenül változatos formáit? A természettudomány az ilyen kérdésekre kétféle elmélettel válaszol: a kvantumfizikával és a káoszelmélettel. Bodo Hamprecht nemzetközi hírű antropozófus és fizikus szerint az anyag kvantummechanikai állapotai ugyanazon törvényszerűségeknek engedelmeskednek, amelyeket az akusztikából ismerünk. Hamprecht a "világéter zenéjéről beszél".


 

A tudományos kutatások szerint az egész univerzum, a legkisebb részektől a makroszkopikus képletekig ugyanazon harmonikus arányok szerint épül fel, amelyeket a zenéből ismerünk. Már régóta tudjuk, hogy a zenei harmóniák matematikai módszerekkel pontosan kifejezhető hangintervallumokra és felhangokra épülnek. Ha pl. megszólaltatunk egy hegedűhúrt, megszólal egy alaphang, amely a húr saját frekvenciájának felel meg. Ha azonban a húrt középen lefogjuk, az előbbi frekvencia kétszeresét kapjuk. A keletkező hang lényegében ugyanaz, csak egy oktávval feljebb szólal meg. A többi harmonikus hangköz, mint pl. a terc, a kvart vagy a kvint szintén egyszerű számtani arányoknak felelnek meg. A zene eme alaptörvényeiben érhetjük először tetten az önhasonlóság elvét. A különböző nagyságrendi skálákon mindig ugyanazokkal a formákkal és struktúrákkal találkozunk. A hegedű húrja egydimenziós. Ha helyette egy kétdimenziós lemezt hozunk rezgésbe, a keletkező rezgésformák valamivel bonyolultabbak. Ezeket felfedezőjük után Chladni-féle hangzásformáknak nevezték el. Ha egy húrt vagy egy lemezt rezgésbe hozunk, az a közölt energiát ismét leadja környezetének, a levegőnek - hang keletkezik. Ha egy gáznak, pl. hidrogénnek adunk energiát (például elektromágneses sugárzás formájában), ugyanez történik. A gáz molekulái rövid idő múlva visszatérnek alaphelyzetükbe úgy, hogy az elektromágneses energiát kisugározzák, mintegy "visszaadva" azt környezetüknek.

 

Chladni-féle hangzásformák 

 

A kvantumfizika törvényei szerint ez a kisugárzás mindig jellegzetes (diszkrét) frekvenciákon történik, amely az adott gázra jellemző. A spektrumelemzés ezen az elven működik: a rezgés segítségével meghatározható, hogy az adott gáz milyen összetételű. Az egyes frekvenciák között fennálló arányok ugyanazon harmóniatörvényeknek engedelmeskednek, mint a zene, és a rezgésformák a Chladni-féle hangzásformákra hasonlítanak.

 

Visszacsatolás a dinamikus folyamatokban

Az önhasonlóság tehát a természet egyik, mindenütt érvényes alapelve, alaptörvénye. E törvény abból következik, hogy a természet nem statikus objektumokból, hanem dinamikus folyamatokból áll. Két törvény alapvető fontosságú: a visszacsatolás és az iteráció. Az iteráció azt jelenti, hogy a fejlődési folyamatok lépésről lépésre zajlanak. A visszacsatolási elv kimondja, hogy az egyes fejlődési fokozatok, lépések soha nem függetlenül zajlanak le, hanem mindig az előző fejlődési fokozat határozza meg, befolyásolja azokat. Például egy állatpopulációban a születések száma (a környezeti tényezők mellett) attól is függ, hogy a korábbi generációban hány állat született. Ugyanígy a növényeknél a levelek és ágak újra növekedését meghatározzák a korábban nőtt levelek és ágak is. Ezáltal automatikusan olyan formák, alakok keletkeznek, amelyekben az egész forma kicsiben ismétlődik. A forma tehát kizárólag az önhasonlóság dinamikus visszacsatolási folyamat következménye. Ez világosan felismerhető a páfrány tollszerű levelének struktúráján.

 

Fraktálok

Az ilyen filigrán formákat fraktáloknak nevezik. Ezeket a 19. század vége óta ismerjük. A kutatók, pl. Gaston Julia, Waclaw Sierpinski, Georg Cantor vagy Felix Hausdorff e téren úttörő munkát végeztek. Az alapvető munkákat azonban sok évtizeddel később végezte el többek között Edward Lorenz és Benoit Mandelbrot, a modern káoszelmélet alapját megteremtve.

 
Alaphang (fent) két harmonikus felhang frekvenciájával 

 

A fraktálok hihetetlenül összetett, bonyolult alakját csak akkor lehetett szisztematikus vizsgálatnak alávetni, amikor kellő kapacitású számítógépek álltak a kutatók rendelkezésére. A modern matematika a fraktálokat az alábbi kritériumok alapján jellemzi: A fraktálok végtelenül komplexek, tehát mindegy, hányszorosára nagyítunk fel egy fraktált, mindig újabb információkat kapunk.

 

A fraktálok túlságosan szabálytalanok ahhoz, hogy a hagyományos (euklidészi) matematikával leírhatnánk őket. Fraktálokat nem tudunk egyszerű geometrikus formákból, pl. körökből, négyzetekből, háromszögekből vagy vonalakból összeállítani.

 

A fraktálok az önhasonlóság elvét követik, tehát a fraktál formája, minden részében kicsinyítve megismétlődik.

 

A fraktálok rajzolásánál a visszacsatolás elvét kell követni, amelynek eredményeként létrejön a megfelelő forma. A visszacsatolást jól ismerjük a mindennapi életből. Ha pl. mikrofonnal hangfelvételt készítünk, és közben túl közel állunk a hangszóróhoz, a mikrofon nem csak a környezetből érkező hangokat veszi fel, hanem a hangszóróból elhangzottakat is. Az így létrejövő visszacsatolás eredményeként a felvett hang kellemetlen, magas, sípoló hanggá gerjed.

 

Fraktálok a természetben.
Balra: A leopárd bundájának rajzolata.
Középen: Hópehely.
Jobbra: Hegy Tibetben, műholdról fényképezve

 

Az optikai visszacsatolást is ismerjük. Ha két tükröt egymással szemben állítunk fel, mindkét tükörben nem csupán saját magunk tükörképét látjuk, hanem a másik tükör képének tükörképét is. E visszacsatolás eredménye, hogy mindkét tükörben végtelenül sokszor láthatjuk tükörképünket, bár a tükörképek sorozata egyre kisebbé válik. 

 

Ebből felismerhető, hogy a fraktális formák elsősorban észlelésünk folyamata által keletkeznek. Ez megfelel a kvantumfizika ama állításának, miszerint a megfigyelő befolyásolja a megfigyelt objektumot. Amikor megfigyeljük az univerzumot, amelynek mi magunk is részei vagyunk, a megfigyelés által létrejön egy visszacsatolás. Tehát az, hogy a természetes formákat fraktáloknak látjuk, természetes.

 

Az ősrégi filozófiai tézist, amely szerint az ember az alkotó társa is egyben, a modern természettudomány igazolja, és környezetünk formáiban minduntalan felfedezhető.

 

 

Új geometria, új dimenziók

A fraktálok leírásához teljesen új geometria szükséges, amely megfelel e formák dinamikus jellegének. Ha így közelítünk hozzájuk, a fraktálok egyáltalán nem bonyolultak. Egyszerű matematikai képletekkel leírhatók – általában egy (vagy több) mátrix segítségével. Számítógép segítségével elvégezhető a visszacsatolás is, azaz egy tetszőleges objektumból kiindulva, a mátrixot rekurzív módon alkalmazva a keletkező képre, addig ismételjük a folyamatot, míg kialakul egy stabil fraktál. A következő oldalon található ábrán látható, hogy ilyen módon kialakul a virág formája. A kiinduló objektum egy egyszerű négyzet. Ugyanígy választhattunk volna bármely tetszőleges formát, kört vagy háromszöget is. A keletkező fraktál mindig ugyanaz lenne, azt kizárólag a visszacsatolás szabálya, azaz a mátrix határozná meg. Fordítva, a mátrix viszonylag kismértékű módosítása a végtermék teljesen más képét eredményezné (vagy egyáltalán nem jönne létre kép). Ez is alapszabály tehát, hogy a káoszelmélet alapján létrejövő fraktális formák rendkívül érzékenyek a kiindulási helyzet variációira. Ezért a kaotikus folyamatok eredménye soha nem jósolható meg, noha maga a káosz nagyon is determinált, más néven szilárd és elméletileg kiszámítható természeti törvényeknek engedelmeskedik. Az ilyen kezdeti hibák progressziója legfeljebb megbecsülhető az ún. Ljapunov-féle függvény segítségével.

 

Egy népesség struktúrájának fejlődése, növekvő lélekszám mellett. A kritikus határ átlépése előbb két, aztán négy elváló ágat eredményez, végül teljesen kaotikus fejlődéshez vezet, amely felnagyítva azonban fraktális struktúrát mutat

 

A fraktálok szempontjából a dimenzió fogalmát is újra kell definiálni. Intuitíve tudjuk, hogy mi a dimenzió. A vonalak egydimenziósak, a síkok kétdimenziósak, a testek háromdimenziósak.

 

A dimenziókat főként azért vezették be, hogy a méreteket mérni lehessen. Mindannyian tudjuk, hogy távolságokat vonalzóval, colstokkal megmérhetünk. A görbe vonalakat azonban leglegfeljebb hozzávetőlegesen tudjuk mérni, úgy, hogy a kanyarokat rövid egyenesekhez hasonítjuk, és ezek hosszát összeadjuk.

 

Anglia végtelen partvidéke

Mi a helyzet egy fraktális vonallal, mint pl. Anglia partvonala?

Már Benoit Mandelbrotnak feltűnt, hogy a határok hossza a különféle mérések során jelentős mértékben eltért egymástól. Egy spanyol lexikonban olyan adatot talált, miszerint a Spanyolország és Portugália között húzódó határvonal hossza 991 km. Egy portugál lexikon szerint ez a hossz 1220 km. 

 

Nem nyomdai hibáról vagy rossz mérésről volt szó. A lenti ábrán a brit sziget meglehetősen durván ábrázolt partvonalait látjuk mellette ugyanez már finomabban ábrázolva. Jól látható, hogy a finomabb beállítás a mért vonal hosszának növekedésével jár, hiszen több részletet figyelembe vesz.

 

 

1. Nagy-Britannia partvonalának durva körvonali rajza.
2. A partvonal pontosabb, aprólékosabb megrajzolásával a partvonal "meghosszabbodik" 

 

Mivel Portugália sokkal kisebb, mint Spanyolország, a portugálok valószínűleg részletgazdagabb, erősebben nagyított térképpel dolgoztak, ezért nekik nagyobb távolság jött ki ugyanarra a vonalra. Mivel a partvonalak valójában fraktálok, a nagyítást addig finomíthatjuk, amíg csak akarjuk – mindig egyre több részlet tűnik elő, és a határvonal egyre hosszabb lesz. Röviden: a fraktálokat hagyományos módon nem lehet megmérni, mert a pontos hosszuk végtelen.

 

A fraktális kanyarok többé nem egydimenziós vonalak. Természetesen nem is kétdimenziós síkok, hanem valami a kettő között. Dimenziójuk megtört, ami 1 és 2 közé esik. Innen származik a fraktál elnevezés is (lat. fractus = tört). Nagy-Britannia partvonalának dimenzióját a matematikusok 1,31-ben állapították meg. A fraktális dimenziókat, amint azt említettük, nem lehet hosszmérésnek alávetni. Itt mást, a fraktál komplexitásának fokát mérik. Minél bonyolultabb a struktúrája, annál nagyobb a dimenziója.

 

Ezek az összefüggések nem csak elméleti szempontból érdekesek, hanem húsbavágó következményei vannak az emberi civilizációk fejlődésére is. A kutatások kimutatták, hogy az emberi települések kiterjedése is a fraktális törvényeket követi, és komplexitásukból következtetni lehet a kultúra stabilitására is.

 

Walter Witschey és Clifford Brown amerikai kutatók kiterjedt kutatásokat végeztek a mexikói maja kultúrával kapcsolatban, és megállapították, hogy településeik eloszlása, több méretarányban vizsgálva is az önhasonlóság törvényének felelt meg, tehát fraktális struktúrát alkotott. A házak elrendezése a településen belül hasonlított a falvak és városok elhelyezkedéséhez. Witschey és Brown a maja kultúra fraktális dimenzióját is kiszámította: 1,51. A maja kultúra tehát meglehetősen komplex volt.

 

A páfránylevél tipikus, tollhoz hasonló struktúrája a visszacsatolási folyamat eredményeként jön létre

 

Talán túlságosan is komplex? Tudjuk, hogy a káoszelmélet törvényeinek alávetett rendszerek egy bizonyos fraktális dimenzió fölött kezdenek instabillá válni. Ez megfigyelhető pl. lavinaomláskor, amely mindig akkor következik be, ha egy meghatározott határértéken túllép valamelyik tényező. Ugyanez érvényes a vulkánkitörésekre, a földrengésekre és más természeti katasztrófákra is, és - amint azt egyes kutatók feltételezik - az emberi társadalmakra is. Ha egy civilizáció a komplexitásnak egy bizonyos fokát túllépi, fenyegető közelségbe jut a kultúra összeomlása (önszerveződő kritikalitásról beszélnek).

 

A maják esetében ez lehet kultúrájuk hanyatlásának oka. Érdekes módon maguk a maják nem tűntek el kultúrájukkal együtt, hanem elhagyták városaikat és elköltöztek. Ismerték várható sorsukat. Természetesen a maják még nem tudtak semmit a fraktális dimenziókról és az önszerveződő kritikalitásról. Azonban kiváló matematikusok voltak és olyan naptáruk volt, amely fraktális struktúrájú volt.

 

Mike Batts (University College London) számításai szerint London városának fraktális dimenziója időközben szintén elérte az önszerveződő kritikalitás mértékét. Mai társadalmunk egyébként olyan komplexszé vált, amit nem csak tagjai képtelenek átlátni, de vészesen közelít a stabilitás és a labilitás határa felé.

 

Egy fraktál dinamikus keletkezése (a képen egy virág látható, egy mátrix alkalmazásával létrehozva)

 

Ebben az összefüggésben tisztáznunk kell, hogy a fraktális formák, amelyekből univerzumunk felépül, soha nem az örökkévalóságnak készültek. Nem a klasszikus geometria változatlan, statikus formáiról van szó, amelyekért az ókori görögök egykor annyira lelkesedtek. A fraktálok nagyon is dinamikusak, mozgásképekről van szó, attraktorokról, amelyekbe időnként kaotikus folyamatok áramlanak, még akkor is, ha felületesen szemlélve stabilnak tűnnek. Eljön a pillanat, amikor szertefoszlanak, hogy aztán ismét új formákká álljanak össze. 

 

A fraktális idő

Ha azonban nem csak a levelek, hópelyhek vagy szervek formája tevődik össze fraktális formákból, hanem még az időben zajló folyamatok is e szabályoknak vannak alávetve, akkor ebből logikus a következtetés, hogy az idő is fraktális szerkezetű. A kutatók már régóta sejtik, hogy az idő többdimenziós entitás, és nem csak a szokásos múlt, jelen, jövő értelmében. Az idő struktúrája fraktális. Nem lineáris, egyenletesen folyó dimenzió, ahogyan Isaac Newton látta, hanem oldalugrásokra, kacskaringókra is képes. Az emberiség története tele van olyan furcsa jelenségekkel, amelyekből leolvashatók az idő "ugrásai".

 

Maja települések eloszlása a mexikói Yucatán-félszigeten.
A települések fraktális szerkezetűek 

 

A fraktáloknál látott módon az idő dimenziói is meghatározzák az idő komplexitásának fokát. E szempontból a legfontosabb fogalmak a következők:

 

• Az idő hossza. Ez megfelel klasszikus időértelmezésünknek, és lehetővé teszi az egyes történések, folyamatok kronológiai besorolását.

• Az idő mélysége. Ez az egy időben történt folyamatok megfigyelését jelenti. Minél több esemény zajlik azonos időben, annál inkább megnő ez a paraméter.

• Az idő sűrűsége nagyjából a fraktális (önhasonlósági) dimenziónak felel meg. Ha az eseményeket egyre rövidebb időközönként vizsgáljuk, és közben egyre több részletet figyelünk meg, azáltal nő az idősűrűség.

 

Mivel az időt közvetlenül nem érzékeljük, az idő fraktális mivoltát főként az időhurok jelensége által vagyunk képesek felismerni. A történelem egyes eseményei szinte azonos vagy majdnem azonos módon ismétlődnek. Mindenki ismer példákat, akár a családban, akár egy településen vagy nagyobb közösségekben, amikor halálesetek azonos időközönként következtek be. Gondoljunk csak az amerikai elnökök haláleseteire, amelyek 20 évenként következtek be.
 

Az időre, illetve a történelmi események lefolyására az időben, jellemző a progresszivitás (lineárisan egymás után következő) és a rekurzivitás (ciklikus ismétlődés). Az egyik az újat, a másik a régit jelenti. A teremtés melódiája e két változó harmonikus együttműködéséből keletkezik. 

- tamás -
XIV. évfolyam 4. szám

Címkék: fraktál, káoszelmélet, kvantumfizika, teremtés

Aktuális lapszámunk:
2019. június

A korábbi lapszámaink tartalmának megtekintéséért kattintson IDE.